Дослідження методів розв`язання системи диференціальних рівнянь з постійною матрицею

Зміст

1. Введення

2. Постановка завдання

3. Знаходження власних чисел і побудова ФСР

4. Побудова фундаментальної матриці рішень методом Ейлера

5. Знаходження наближеного рішення у вигляді матричного ряду

6. Побудова спільного рішення матричним методом

7. Завдання Коші для матричного методу

8. Рішення неоднорідної системи

Графіки

Висновок

1. Введення

Розглянемо систему лінійних рівнянь першого порядку, записану в нормальній формі:

(1)

де коефіцієнти а _ij , I = 1,2, ... .., n, к = 1,2, ..., n, є постійними величинами;

y _i = y _i (t), i = 1,2, ..., n - невідомі функції змінної t.

Якщо все b _i (t) (i = 1,2, ..., n) покласти рівним нулю (b _i (t) = 0), то вийде однорідна система, відповідна неоднорідною системі (1).

Позначаючи матрицю системи через А (х), а вектор через тоді систему (1) можемо переписати в матричній формі

(1а)

Якщо , То отримуємо відповідну систему однорідних рівнянь

. (2)

Всяка сукупність n функцій

визначених і безперервно диференційовних в інтервалі (a; b), називається розв'язком системи (1) в цьому інтервалі, якщо вона звертає всі рівняння системи (1) в тотожності:

справедливі при всіх значеннях x з інтервалу (a, b). Загальне рішення неоднорідної системи є сумою загального рішення відповідної однорідної системи і приватного рішення неоднорідною.

2. Постановка завдання

Мета роботи: дослідження методів розв'язання системи диференціальних рівнянь з постійною матрицею:

; ;

Завдання

1. Знайти власні числа і побудувати фундаментальну систему рішень (ФСР).

2. Побудувати фундаментальну матрицю методом Ейлера.

3. Знайти наближене рішення у вигляді матричного ряду.

4. Побудувати спільне рішення матричним методом. Дослідити залежність Жорданових форми матриці А від її власних чисел.

5. Вирішити задачу Коші.

Початкові умови:

Вектор початкових умов: [1, 2, 3, 4]

t = 0

3. Знаходження власних чисел і побудова ФСР

Однорідної лінійної системою диференціальних рівнянь називається система рівнянь виду:

(3)

Якщо в матриці системи всі = Const, то дана система називається системою з постійними коефіцієнтами або з постійною матрицею.

Фундаментальною системою рішень однорідної лінійної системи рівнянь називається базис лінійного простору рішень a, тобто n лінійно незалежних рішень цієї системи.

Для побудови фундаментальної системи розв'язків диференціального рівняння необхідно знайти власні числа характеристичного полінома, так як в залежності від їх виду (характеристичні числа можуть бути дійсними різними, кратними, комплексними) будується фундаментальна система рішень.

Для того щоб ця система n лінійних однорідних рівнянь з n невідомими мала нетривіальне рішення, необхідно і достатньо, щоб визначник системи (вронскіан) дорівнював нулю:

(4)

З цього рівняння ступеня n визначається значення k, при яких система має нетривіальні рішення. Рівняння (4) називається характеристичним.

Запишемо характеристичний поліном, для цього скористаємося функцією CHARPOLY

Для знаходження власних чисел скористаємося функцією SOLVE (U, l), яка повертає характеристичні числа матриці А у вектор l. Отримаємо:

Вийшло два дійсно кореня і два комплексно-сполучених кореня . Отже, вектора, що утворюють фундаментальну матрицю, для даного типу коренів будуть перебувати окремо для і окремо для . Запишемо ФСР для даних для отриманих характеристичних чисел:

Матрицю y (x), стовпцями якої є рішення, що утворюють фундаментальну систему, називають фундаментальною матрицею.

І спільне рішення системи буде виглядати наступним чином:

Знайдемо рішення даної системи за допомогою методу Ейлера.

4. Побудова фундаментальної матриці рішень методом Ейлера

Метод Ейлера полягає в наступному.

Рішення системи (1) перебуває у вигляді:

(5)

Функція (5) є рішенням системи (1), якщо - Власне значення матриці А, а а - власний вектор цієї матриці, що відповідає числу . Якщо власні значення _{1, 2,} ..., _n матриці А попарно різні і a _1, a _2, ..., a _n відповідні власні вектори цієї матриці, то спільне рішення системи рівнянь (1) визначається формулою:

де С _1, С _2, ..., С _n - довільні числа.

Для випадку кратних коренів рішення системи приймає вигляд

(6)

де Pi (x)-поліноми ступеня не вище, ніж (к-1), що мають у сукупності до довільних коефіцієнтів. Так що серед коефіцієнтів цих поліномів до коефіцієнтів є довільними, а що залишилися до · nk виражаються через них. Для відшукання коефіцієнтів поліномів підставимо рішення (6) у вихідну систему рівнянь, прирівняємо коефіцієнти при однакових функціях. Вирішимо систему по відношенню до (k · nk) коефіцієнтів. Отримаємо вираз всіх коефіцієнтів через вільні.

Якщо для кратного власного значення матриці А є стільки лінійно незалежних власних векторів , Яка його кратність, то йому відповідає k незалежних рішень вихідної системи:

Якщо для власного значення кратності k є тільки m (m <k) лінійно незалежних власних векторів, то рішення, відповідні , Можна шукати у вигляді добутку векторного многочлена ступеня k - m на , Тобто у вигляді:

Щоб знайти вектори , Треба підставити вираз (4) в систему (3). Прирівнявши коефіцієнти подібних членів в лівій і правій частинах системи, отримаємо рівняння для знаходження векторів .

Для даного завдання були знайдені такі власні значення:

.

Побудували фундаментальну систему рішень:

Знайдемо 1 рядок фундаментальної матриці рішень для характеристичного числа . Запишемо третій рядок рішень у загальному вигляді:

Де а ij знайдемо за виразом:

або

Отримана матриця:

Вирішуємо систему:

Отримані коріння:

Доопределить

Тоді перший рядок матиме вигляд:

Аналогічно знайдемо другий рядок фундаментальної матриці рішень для першого характеристичного числа -1. Отримані значення:

Тоді другий рядок матиме вигляд:

Знайдемо третю і четверту рядка фундаментальної матриці рішень для першого характеристичного числа . Сполучений корінь не породжує нових речових лінійно незалежних приватних рішень.

Отримані значення:

Відокремлюючи в ньому речові і уявні частини, отримаємо два речових рішення, які і складають першу і другу рядка фундаментальної матриці рішень

Аналогічно інші 3:

Запишемо знайдену фундаментальну матрицю рішень:

Помножимо транспоновану фундаментальну матрицю рішень на вектор вільних коефіцієнтів і отримаємо вектор спільного рішення вихідної системи:

Зробимо перевірку знайденого рішення наступним чином:

Отримуємо нульову матрицю-стовпець:

що показує, що спільне рішення знайдено вірно.

5. Знаходження наближеного рішення у вигляді матричного ряду

Дамо визначення матричному ряду і експоненційної функції матриці.

Матричні ряди. Розглянемо нескінченну послідовність матриць , , . Будемо говорити, що послідовність матриць сходиться до матриці А:

,

якщо при . З визначення норми випливає, що збіжність матриць еквівалентна поелементної збіжності. Матричним поруч називається символ , Причому кажуть, що цей ряд сходиться до суми , Якщо до f сходиться послідовність часткових сум S _k, де

.

Нехай , Тоді можна визначити ступінь матриці А звичайним чином:

(K разів).

Розглянемо ряд, званий статечним:

, , ,

де за визначенням покладемо A ₀ = E _n.

Експоненціальна функція матриці. Як приклад розглянемо степеневий ряд, що дорівнює:

.

Так як радіус збіжності відповідного числового ряду

Дорівнює нескінченності, то ряд сходиться при всіх А. Сума ряду називається експоненційною функцією (експонентою) і позначається через е ^А, якщо ехр {А}.

Наближено вектор рішень можна знайти як твір матричного ряду:

і вектора початкових умов y ₀ = [y _1, y _2, ... .. y _k].

Формула є матричної завданням Коші в наближеному вигляді.

Експонентою матриці А називається сума ряду

де Е - одинична матриця.

Матриця є рішенням матричної задачі Коші:

тобто є фундаментальною матрицею системи.

Знайдемо розкладання матричного ряду послідовно по семи, восьми і десяти першим членом.

для отримання розкладання по 7 першим членом (аналогічно по 8,10 і 10). Результатом буде матриця 4 * 4. Отримані матриці множимо на вектор початкових умов S = [1,2,3,4] і отримуємо наближене рішення у вигляді матричного ряду.

При збільшенні членів розкладання ряду вектор наближених рішень буде прагнути до вектора точних рішень. Цей факт можна спостерігати, графічно порівнюючи зображення точного і наближеного рішень (див. додаток).

Помножимо на відповідний вектор початкових умов і отримаємо наближений розв'язок у вигляді матричного ряду, запишемо отримане рішення для n = 7.

[S1 ≔ 1, s2 ≔ 2, s3 ≔ 3, s4 ≔ 4]

6. Побудова спільного рішення матричним методом

Матричний метод рішення системи рівнянь (1) заснований на безпосередньому відшуканні фундаментальної матриці цієї системи.

Експонентою e ^A матриці А називається сума ряду

де Е - одинична матриця.

Властивість матричної експоненти:

а) якщо АВ = ВА, то е ^{А + В} = е ^А * е ^В = е ^В * е ^А;

б) якщо А = S ^- 1 * B * S, то е ^А = S ^-1 * e ^B * S, де матриця S - це матриця перетворення змінних з власного базису в базис вихідних змінних.

в) матриця y (t) = e ^At є рішенням матричної задачі Коші:

тобто є фундаментальною матрицею системи (1).

З властивості в) випливає, що рішення y (t) системи (1) задовольняє умові y (0) = y _0, визначається виразом y (t) = e ^At * y _0. Таким чином, завдання знаходження розв'язків системи рівнянь (1) еквівалентна задачі відшукання матриці e ^At по матриці А.

Для обчислення матриці e ^At зручно представити матрицю А у вигляді:

,

де матриця S - це матриця перетворення змінних з власного базису в базис вихідних змінних, а B _А - жорданова форма матриці А, тому що e ^At = S ^-1 * e ^Bt * S.

Жорданова форма матриці залежить від виду характеристичних чисел.

1. Нехай характеристичні числа дійсні кратні, тоді Жорданових форма матриці розмірності n x n має вигляд:

де - Дійсний корінь кратності n.

2. Якщо серед коренів характеристичного полінома є, як дійсні різні, так і дійсні кратні корені, то матриця В має вигляд:

де - Дійсні різні коріння, а - Дійсний корінь кратності 2.

• При наявності серед коренів характеристичного полінома коренів комплексно-сполучених Жорданових клітка виглядає наступним чином:

де а комплексно пов'язаний корінь характеристичного полінома.

Так як у нашому випадку серед характеристичних чисел присутні, як комплексно-зв'язані корені л = 2 -  ∨ л = 2 + , так і дійсний різне коріння л = -1 ∨ л = 1, то жорданова матриця виглядає наступним чином:

З рівняння A _* S = S _* В, де S - невироджених матриця, отримуємо систему 16-го порядку, з якої знаходимо елементи матриці S. Отримана матриця S буде виглядати наступним чином:

Вирішуємо систему 16-го порядку з рівняння A _* S = S _* У

Доопределяется деякі елементи і отримуємо наступну матрицю S:

Зробимо перевірку A _* S - S _* В = 0:

Значить матриця переходу знайдена вірно.

Для знаходження вектора рішень y необхідно помножити матрицю S на , Де - Це вектор, елементи якого залежать від коренів характеристичного многочлена:

Для комплексних чисел має наступний вигляд:

Для випадку коренів дійсних різних:

У нашому випадку виходить рівною:

=

Звідси знайдемо спільне рішення у = S * , Отримаємо:

При підстановці рішення у вихідну систему виходить правильне рівність, з цього випливає, що рішення знайдено вірно:

7. Завдання Коші для матричного методу

Необхідно з усіх рішень системи рівнянь знайти таке рішення, в якому y ⁽ⁱ⁾ (t) приймає задане числове значення y _{0 i} в заданій точці, тобто знайти значення з _i для наступних заданих значень: x = 0, y = [1, 2, 3,4].

У вектор рішень y (t) підставляємо задані умови і вирішуємо отриману систему щодо c 1, c 2, c 3, c 4 :

В результаті отримуємо:

При підстановці c 1, c 2, c 3, c 4 в спільне рішення отримаємо рішення у формі Коші:

Зробимо перевірку, підставивши спільне рішення у вихідну систему

:

Вийшов нульовий вектор . Отже, знайдена матриця є рішенням вихідної системи.

Дослідження залежності Жорданових форми матриці А від властивостей матриці системи

Нехай J - жорданова клітина матриці А. Для випадку дійсних різних коренів жорданова клітина буде виглядати наступним чином:

Нехай серед дійсних власних чисел матриці А є кратні. Жорданова клітина буде знаходитися за такою формулою:

Наприклад, якщо кратність k = 2, то Жорданових клітку матриці ми можемо записати так:

Якщо кратність k = 3, то Жорданових клітку матриці ми можемо записати так:

Якщо ж серед трьох власних чисел є корінням кратності 2, то жорданова форма буде виглядати наступним чином:

Якщо два власних числа матриці А є комплексними сполученими, то запис Жорданових клітини буде виглядати так:

де - Дійсна, - Уявна частина власного числа .

8. Рішення неоднорідної системи

Права частина:

Загальне рішення неоднорідної системи можна знайти за формулою:

Де - ФСР, Зі - матриця , F (t) - вектор правих частини.

- Спільне рішення однорідної системи

- Приватне рішення неоднорідної системи

Отримане приватне рішення неоднорідної системи:

Загальне рішення однорідної системи

Тоді їх сума буде шуканим спільним рішенням неоднорідної системи:

Перевіримо

Знайдене рішення вірно.

Графіки

Зобразимо графічно точне приватне рішення однорідної лінійної системи диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами для початкових умов: t ₀ = 0, y ₀ = [1, 2, 3, 4].

Порівняємо графік однієї функції вектора точного рішення і однієї функції вектора наближеного рішення з 3-ма, 5-ю і 7-ма членами ряду:

Де 1 - графік наближеного рішення для трьох членів ряду; 2 - графік наближеного рішення для шести членів ряду; 3 - графік наближеного рішення для дев'яти членів ряду; 4 - графік точного рішення.

Можна зробити висновок:

Зі збільшенням числа членів ряду, число збігу членів ряду з точним рішенням буде збільшуватися, район збігу буде рости.

Висновок

В ході проведеної роботи було вивчено 3 методи знаходження спільного рішення однорідної системи лінійних диференціальних рівнянь: метод Ейлера, рішення у вигляді матричного ряду і матричний метод. У порівнянні з методом Ейлера і матричним методом, метод розкладання в матричний ряд простий в реалізації, але дає наближене рішення. Також була вивчена задача Коші, яка була використана для знаходження приватного рішення однорідної системи лінійних диференціальних рівнянь для даного виду початкових умов.

Для встановлення правильності проведених обчислень була проведена перевірка за допомогою підстановки отриманих рішень у вихідну систему рівнянь.

Для реалізації цієї роботи в DERIVE були використані наступні функції пакету:

1. EIGENVALUES (A, ) - Обчислення власних чисел матриці A з подальшим записом у вектор .

2. SOLVE (Pm = 0, ) - Рішення рівняння Pm = 0, де Pm - поліном ступеня m: Pm = p 0 * ^m p 1 * ^{m -1} + ... + pm -1 * + Pm, а - Змінна, щодо якої вирішується дане рівняння.

3. EXACT _ VECTOR (A, ) - Обчислення точного власного вектора матриці А і розміщення цих значень в .

4. DIF (A, x, n) - диференціювання A по x n разів.

5. SUM (M, n, f, g) - обчислення суми M по n змінюються з f до g.

6. VECTOR (u, k, n) - завдання (обчислення) вектора значень при k змінюється від 1 до n.

А також функції меню:

1. SOLVE / SYSTEM - рішення системи з наступним завданням в діалоговому вікні кількості рівнянь, самих рівнянь і змінних, щодо яких вирішується дане рівняння.

2. Simplify> Expand-розкриття виразів.

Команда Expand використовується для розкриття математичних виразів.

Expand expression: # n: де n - номер рядка виразу (операнда).

Expand Variable: # n.

У цьому варіанті команди необхідно вказати ім'я змінної, по якій буде проведено перетворення. Якщо по всіх - <Enter>.

3. Для побудови графіків використовували функцію 2 D - plot.